A robust and efficient method for solving point distance problems by homotopy

The goal of Point Distance Solving Problems is to find 2D or 3D placements of points knowing distances between some pairs of points. The common guideline is to solve them by a numerical iterative method (e.g. Newton-Raphson method). A sole solution is obtained whereas many exist. However the number of solutions can be exponential and methods should provide solutions close to a sketch drawn by the user. Geometric reasoning can help to simplify the underlying system of equations by changing a few equations and triangularizing it. This triangularization is a geometric construction of solutions, called construction plan. We aim at finding several solutions close to the sketch on a one-dimensional path defined by a global parameter-homotopy using a construction plan. Some numerical instabilities may be encountered due to specific geometric configurations. We address this problem by changing on-the-fly the construction plan. Numerical results show that this hybrid method is efficient and robust. Key-words: Point Distance Solving Problems, Reparameterization, Curve Tracking, SymbolicNumeric Algorithm ∗ Travail en partie effectué au laboratoire ICube. † Laboratoire ICube UMR 7357 CNRS Université de Strasbourg, bd Sébastien Brant, F-67412 Illkirch Cedex, France Une méthode robuste et efficace pour résoudre des systèmes de contraintes de distances entre points par homotopie Résumé : Le but de la résolution de problèmes de contraintes de distances entre points est de placer en 2D ou 3D un ensemble de points connaissant certaines distaces entre paires de points. De tels problèmes sont en général résolu grâce à une méthode numérique, souvent NewtonRaphson, qui ne produit qu’une solution alors qu’il en existe un nombre exponentiel. Celles ressemblant à l’esquisse sont d’un intéret particulier. Le raisonnement géométrique peut cependant aider à simplifier les sytèmes d’équations correspondant en remplaçant quelques équations, ce qui permet de les triangulariser. Une telle triangularisation est une construction géométrique des solutions et est appellée plan de construction. On se propose dans ce rapport de trouver plusieurs solutions, proches de l’esquisse sur une courbe définie par une homotopie utilisant le plan de construction pour réduire son coût. L’utilisation d’un plan de construction induit des instabilités numériques à proximité de certains points; ces instabilités sont évités en changeant le plan de construction pendant le suivi de la courbe. La méthode décrites ici a été implémentée, et les résultats obtenus montrent son efficacité et sa robustesse. Mots-clés : Problèmes de Constraintes de Distances entre Points, Re-paramétrisation, Suivi de courbes, Algorithme symbolique-numérique A Robust and Efficient Method for Solving PDSP by Homotopy 3